Grup G di katakan grup siklik jika terdapat a є G sehingga

Dimana a dinamakan pembangun G dan dinotasikan dengan < a >.

Jika terdapat

maka H tersebut adalah subgrup dari G. Subgrup ini dinamakan subgrup siklik G yang di bangun a.

Teorema 1

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif ( abelian )

Bukti

Misalkan G grup siklik dengan pembangun  a

Ambil sembarang

Maka terdapat bilangan bulat n dan m sehingga x = aⁿ dan y = a^m.

Diperoleh xy = aⁿ a^m = a^n+m = a^m+n = a^m aⁿ =yx

Jadi, G grup komutatif ( abelian )

Pada himpunan semua bilangan bulat, berlaku suatu aturan yang dikenal dengan algoritma pembagian.

Jika m bilangan bulat positif maka untuk sembarang bilangan bulat p terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sehingga n = mq+r dengan 0≤ r < m.

Teorema 2

Subgrup dari grup siklik adalah siklik.

Bukti.

Misalkan G grup siklik dengan pembangun a dan H adalah subgrup dari G sebarang.

1). jika H = {е} maka H = < е >.

Jadi H siklik.

2). Jika H ≠ {е} maka terdapat  aⁿ

Misalkan Hm adalah bilangan bulat positif terkecil  sehingga a^m

Adit H = < a^m >.

Ambil sebarang x  , maka x = a^p untuk p suatu bilangan bulat

Berdasarka algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat q dan r sehingga p = mq + r dengan  0≤ r < m.

Di peroleh a^p = a^mq+r = a^mq a^r = (a^m)^q a^r

a^{r =} a^p(a^m)-^q

karena a^p,a^m ЄH dan H subgrup maka ⁼ a^p(a^m)-^q

jadi, a^r

tetapi karena m bilangan bulat positif terkecil sehingga a^m dan  0≤ r < m maka haruslah r = 0.

Sehingga p = mq.

Jadi terbukti H = < a^m >.

Berdasarka 1) dan 2) dapaat di simpulkan bahwa setiap subgrup dari grup siklik merupakan gbrup siklik.

Definisi ( order )

Diketahui (G, *) merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada g berhingga, maka order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tak berhingga, maka order dari G adalah tak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan |G|.

Aku kangen sama kamu
Apa kamu udah gak sayang aku

Maafkanlah aku lari dari kenyataan
Bukan karena aku tak punyai rasa sayang
Maafkanlah aku mencoba ‘tuk berlari
Karena satu hati engkau pasti kan mengerti

Kamu pacar terbaikku
Walau hanya sekejab di hatiku

Reff:
Mengapa hanya sekejab saja
Ku merasakan indahnya dengan dirimu
Mengapa hanya untaian kata
Ku rasa tiada sempurna cerita cinta kita

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

Bukti

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u₀ dan x = x₀. Maka y merupakan fungsi komposit dari x . Turunan y terhadap x di titik x₀ dinyatakan sebagai

Misalkan Δu = g(x₀ + Δx) − g(x₀), dan u₀ = g(x₀). Untuk maka . Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

aku biasa dipanggil nuri kalau di kampus, dikos dipanggil mimin. sebenarnya dari kecil aku dipanggil imin tetapi sejak SMA aku dipanggil berubah ubah kayak bunglon berubah sesuai tempatny, sahabat2 habymilku biasa manggil cimin, ci+, dan nuri+. habymil tu singkatan dari happy busy and smail yang artinya gadis yang selalu happy, super sibuk dan selalu tersenyum. he……………. pi karang tidak lagi tuh

thank you udah buka blog aku

bye bye

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.

Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois.

Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.

Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.

Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.