GRUP SIKLIK

Definisi 1

Grup G di katakan grup siklik jika terdapat a є G sehingga

Dimana a dinamakan pembangun G dan dinotasikan dengan < a >.

Jika terdapat

maka H tersebut adalah subgrup dari G. Subgrup ini dinamakan subgrup siklik G yang di bangun a.

Teorema 1

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif ( abelian )

Bukti

Misalkan G grup siklik dengan pembangun  a

Ambil sembarang

Maka terdapat bilangan bulat n dan m sehingga x = aⁿ dan y = a^m.

Diperoleh xy = aⁿ a^m = a^n+m = a^m+n = a^m aⁿ =yx

Jadi, G grup komutatif ( abelian )

Pada himpunan semua bilangan bulat, berlaku suatu aturan yang dikenal dengan algoritma pembagian.

Jika m bilangan bulat positif maka untuk sembarang bilangan bulat p terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sehingga n = mq+r dengan 0≤ r < m.

Teorema 2

Subgrup dari grup siklik adalah siklik.

Bukti.

Misalkan G grup siklik dengan pembangun a dan H adalah subgrup dari G sebarang.

1). jika H = {е} maka H = < е >.

Jadi H siklik.

2). Jika H ≠ {е} maka terdapat  aⁿ

Misalkan Hm adalah bilangan bulat positif terkecil  sehingga a^m

Adit H = < a^m >.

Ambil sebarang x  , maka x = a^p untuk p suatu bilangan bulat

Berdasarka algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat q dan r sehingga p = mq + r dengan  0≤ r < m.

Di peroleh a^p = a^mq+r = a^mq a^r = (a^m)^q a^r

a^{r =} a^p(a^m)-^q

karena a^p,a^m ЄH dan H subgrup maka ⁼ a^p(a^m)-^q

jadi, a^r

tetapi karena m bilangan bulat positif terkecil sehingga a^m dan  0≤ r < m maka haruslah r = 0.

Sehingga p = mq.

Jadi terbukti H = < a^m >.

Berdasarka 1) dan 2) dapaat di simpulkan bahwa setiap subgrup dari grup siklik merupakan gbrup siklik.

Definisi ( order )

Diketahui (G, *) merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada g berhingga, maka order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tak berhingga, maka order dari G adalah tak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan |G|.

Advertisement